Um überhaupt eine Messung durchzuführen, sind Eigenschaften von Objekten notwendig, zu denen wiederum Indikatoren existieren bzw. passend zur Definition des Objekts und der Eigenschaft ausgewählt werden, deren Werte numerisch ermittelt werden. Messen selbst ist dann die Zuordnung von Zahlen in Form von Messwerten zu diesen Objekten anhand einer vorab vereinbarten Messvorschrift. Spitzfindig kann man sich nun hier auch die zufällige Vergabe von Messwerten zu einer Eigenschaft als Regel vorstellen, die allerdings uninteressante und nicht weiter sinnvoll interpretierbare Ergebnisse liefert. Die Zuordnungsregel muss also sinnvoll sein, was nichts Anderes bedeutet, als dass immer unter der Annahme, dass dies aufgrund der Skala möglich ist Reihenfolge, Abstände oder Unterschiedlichkeiten erhalten bleiben. Eine Messvorschrift, die der gleichen tatsächlichen Ausprägung verschiedene Werte zuordnet, ist daher genauso sinnlos wie eine solche, welche die Reihenfolge von Werten beliebig abbildet und vor allen Dingen die ursprüngliche nicht berücksichtigt. Daher benutzt man den Begriff der strukturgetreuen Abbildung. Welches Kriterium für diese Strukturtreue verwendet wird, hängt wiederum von der Definition des Objekts ab, wobei die Beziehungen zwischen den Objekten hier zum Einsatz kommen.
Für den Vergleich von Kunden untereinander und die Ermittlung von Kundengruppen muss bspw. zunächst geklärt werden, wie die Eigenschaft Umsatz gemessen wird und welcher Abstand zum Einsatz kommen soll, um Gruppen aufzubauen. Es ist hier davon auszugehen, dass Kunden vermutlich alle einen unterschiedlichen Umsatz gebracht haben. Sie sind also aufgrund der Genauigkeit im Cent-Bereich in jedem Fall unterschiedlich zueinander. Um aber dennoch Gruppen aufbauen zu können, liegt es an der Abbildung des empirischenA? Relativs in das numerische Relativ, wie diese sehr feinen Abstände überhaupt interpretiert werden sollen. Eine Klassierung der Daten bspw. in Tausender-Bereiche entspricht dabei einer solchen Messvorschrift, wobei dann eine Reihe von sehr feinen Beträgen zwischen 1000 und 2000 Euro zu einer einzigen Gruppe zusammen gefasst werden können. In diesem Fall konstituiert sich das empirische Relativ aus der geordneten Menge der Kunden aufgrund ihres Umsatzes, während das numerische Relativ die Kunden als Zahlen interpretiert, die in der gleichen Reihenfolge wie die tatsächlichen Kunden auftreten, und denen die Umsatzwerte genauso zugeordnet sind, wobei aber nur noch die Umsatzwerte übrig bleiben.
Bei einer Messung, in denen die Umsatzbeträge ganz genau gemessen werden, kann man davon ausgehen, dass sie alle verschieden sind, sodass man hier von einer isomorphen Abbildung sprechen kann. Aus den einzelnen Umsätzen wären die einzelnen Kunden wieder rekonstruierbar; man besitzt auch genau so viele Elemente im numerischen Relativ wie im empirischen. Bei einer Klassierung der Daten jedoch werden unterschiedliche Umsatzwerte zu einer Klasse zusammen gefasst, sodass durch die Zuweisung zu einer Klasse gleiche Zahlen für mehrere Kunden vergeben werden und dann der genaue Umsatz nicht mehr rekonstruierbar wäre. Im konkreten Fall würde man diese Klassierung erst bei der Auswertung vornehmen, um die Möglichkeit zu besitzen, mit verschiedenen Klassengrößen zu experimentieren. Man spricht hierbei auch davon, dass man bei der isomorphen Abbildung oder dem Isomorphismus eine umkehrbare eindeutige Abbildung besitzt. Dabei kann man aus der durch die Messung zugeordneten Zahl wieder das Objekt erkennen, das man durch diese Zahl bezeichnet. Im anderen Fall handelt es sich um eine nicht umkehrbar eindeutige Abbildung, welchA?e man auch als Homomorphismus oder einer homomorphen Abbildung bezeichnen kann.
Die Abbildung zeigt beide Abbildungstypen gleichzeitig. Den gegebenen Kunden Ute, Karl und Beate kann man einzelne Umsätze zuordnen bzw. sie weisen in der Eigenschaft Umsatz unterschiedliche Werte auf. Umsatz kann man als stetiges Merkmal interpretieren, das es quasi beliebig viele Unterteilungen geben kann. Auch trotz der Rundung auf zwei Stellen ist es nicht üblich, den Umsatz direkt zu gruppieren, da ein Unterschied im Cent-Bereich nicht weiter bedeutsam ist. Durch diese Stetigkeit allerdings hat jeder Kunde einen individuellen und von anderen Kunden verschiedenen Wert. Der Isomorphismus entsteht dadurch, dass man auf Basis des Umsatzes auch wieder den Kunden finden kann.
Der Homomorphismus dagegen entsteht durch die Gruppierung von Kunden auf Basis ihres Umsatzes als einfachster Größe oder sonstiger Größen aus dem Bestellverhalten wie deren Häufigkeit oder durchschnittlicher Höhe. Durch die Klassierung (oder auch Kategorisierung, Gruppierung) wird mehreren Kunden die gleiche Gruppe zugeordnet. Dadurch verliert man den direkten Bezug zwischen dem numerischen und dem empirischen Relativ. Es ist allerdings nun besser möglich, auf Basis dieser Kategorien weitergehende Analysen auszuführen. Die Voraussetzung ist hier, dass die Gruppen eine sinnvolle Breite haben.
Die zweite Abbildung bringt noch einmal beide Aspekte direkt zusammen. Die isomorphe Abbildung besitzt für jedes einzelne untersuchte Objekt genau eiA?nen unterschiedlichen Wert, während die isomorphe Abbildung nur sehr wenige Werte auf eine (im Normalfall deutlich) größere Anzahl von untersuchten Objekten verteilt.
Im bisherigen Gedankengang wurde diskutiert, dass die Wirklichkeit durch Begriffe konstruiert würde, die durchaus nicht alle direkt beobachtbar seien und über deren genaue Eigenschaften, Bedeutung und Zusammensetzung ein gemeinsamer Kontext bestünde, den man einfach als gegeben und bei allen Beteiligten in einem sozialwissenschaftlichen Projekt oder ganz einfach in einer Kommunikationssituation als bekannt voraussetzen könnte. Stattdessen seien Definitionen notwendig, mit denen insbesondere komplexe soziale Begriffe zunächst eindeutig und abschließend für einen bestimmten Kontext wie bspw. eine Studie beschrieben werden. Vor dem Hintergrund dieser Definitionen sei es nun, wurde gesagt, notwendig, Indikatoren zu finden, mit denen die Eigenschaften dieser Phänomene beobachtet werden könnten. Diese Indikatoren können dabei auch ein ganzes Phänomen abbilden, wenn es dafür geeignet sei. Mit dem Begriff des empirischen Relativs wurden dann Objekte bezeichnet, die für ein solches Phänomen beobachtet werden könnten und die in ein numerisches Relativ überführt werden sollten, wobei eine Messvorschrift notwendig sei, welche wiederholbar, nachvollziehbar und selbstverständlich angemessen und sinnvoll sein sollte.
Die Messung erfordert eine so genannte Skala, die in diesem Abschnitt nun als letzter Bestandteil des Werkzeugkastens eingeführt wird. Als Skala versteht man genau eine homomorphe Abbildung, die ein empirisches in ein numerisches Relativ überführt. Sie wird nur als nicht umkehrbar bezeichnet, weil man für die spätere Auswertung in vielen Fällen gerade eine Verdichtung der Werte benötigt, die teilweise auch schon bei der Messung vorgenommen werden. Dies betrifft bspw. eine Einordnung von gemessenen Objekten. Dies kann man sich in Form von Kundenkategorien oder einer ABC-Einteilung vorstellen. Doch auch eine Einteilung von Personen zu Geschlechtern ist bereits eine nicht umkehrbare Einteilung, sobald mehr als ein Mann und eine Frau an einer Befragung teilnehmen, denn aus der mehrfach vergebenen Zuordnung lässt sich kein Rückschluss auf die ursprüngliche Person durchführen. Hierbei geht es nur um die reine Abbildung und nicht etwa um die spätere kombinierte Auswertung, ob bspw. das Buchungsverhalten von Kunden abhängig vom Geschlecht ist, denn hier behält man als zusätzliche Information selbstverständlich auch den Schlüssel der befragten Person. Die Skala mit den Werten {Mann, Frau} ist allerdings nicht umkehrbar.
Bei numerischen Werten ist es wie man sich leicht vorstellen kann besonders leicht, eine passende Skala zu finden. Hier muss man sich lediglich überlegen, ob möglicherweise eine klassierte Darstellung/Abbildung der Werte wie bei Alters- oder Einkommens-/Umsatzgruppen nicht eine bessere Auswertungsmöglichkeit und Verdichtung der Rohwerte bietet. In anderen Fällen ist dies allerdings nicht so leicht, was man besonders einfach bei der Messung von komplexen sozialen Gebilden sieht. Hier ist bereits die Ableitung von passenden Indikatoren eine kniffelige Aufgabe, die auch zu verschiedenen alternativen Indikatorkombinationen führen kann und deren Auswahl vielleicht sogar durch den Gesetzgeber, die Arbeitnehmervertretung oder allgemeine moralische Vorstellungen beeinflusst wird. Wenn definitiv ausgewählte Indikatoren dann untereinander mit Gewichtungen in Beziehung gesetzt werden, entsteht wiederum neuer Klärungsbedarf, der zu Vorschlägen, Gegenvorschlägen und Abwägungen führen und in einen Abstimmungsprozess münden kann. Hier ist es dann also offensichtlich nicht so klar, wie die Skala aussieht, was man für eine Skala besitzt oder ob überhaupt eine irgendwie natürliche Skala existiert.
Beispiele wie Motivation, Zufriedenheit oder Leistungen aus sämtlichen betriebsnahen und auch außerbetrieblichen Lebensbereichen können schnell zeigen, dass schon alleine aufgrund der Schwierigkeit, eine Definition selbst zu erstellen oder eine aus der Fülle an vorgeschlagenen und auch je nach Herkunft mit verschiedenen ideologischen Vorstellungen verbrämten Definitionen auszuwählen, die Wahl der Skala oder auch die Behauptung, dass überhaupt eine Skala existiere, eine Herausforderung darstellt. Wichtig ist in diesen Bereichen auch immer zu berücksichtigen, dass man sich schnell in einer Machtsituation befindet, in der mit der Auswahl von Indikatoren, den Gewichtungen und schließlich der Skala selbst zusätzliche Ziele für eine Bewertung der Realität in die Entscheidungsfindung eingehen.
Dieses Problem lässt sich nur lösen, wenn man nachweisen kann, dass es tatsächlich eine Skala gibt. Im so genannten Repräsentationstheorem werden die Bedingungen, die für das empirische Relativ gelten müssen, damit es in ein numerisches Relativ abgebildet werden kann, d.h. solche, die es überhaupt erst ermöglichen, eine homomorphe Abbildung zu konstruieren, festgelegt. Solche Bedingungen werden als Axiome bezeichnet.
Ob es tatsächlich für jedes soziale oder psychologische Phänomen eine Skala gibt, ist abschließend nicht zu klären. Die Existenz von konkurrierenden Skalen ist dabei nicht weiter bedenklich, weil es durchaus auch äquivalente Skalen geben kann. Ihre Werte lassen sich durch Transformationen, d.h. Umrechnungen, ineinander überführen. Bei numerischen Werten ist normalerweise keine Messproblematik festzustellen, da hier die Werte ja selbst schon numerisch vorliegen. Bei nominalen Werten dagegen kann die Zuordnung sehr schwierig sein. Sofern man wie bspw. bei Positionen in einer Unternehmenshierarchie wiederum feste Begriffe für Werte hat, kann man diese Begriffe als Zahlen übersetzen und dann Mitarbeitern mit gleicher Position die gleiche Zahl, d.h. die gleiche Codierung, zuordnen. Doch schon bei solchen Begriffen wie (Aus-)Bildung ist vermutlich gar keine solche Begriffssammlung, geschweige denn eine Hierarchie von Begriffen vorhanden. Im Normalfall würde man immer den höchsten Bildungsabschluss verwenden, doch ist dann fraglich, wie eine berufsbezogene Zusatz-Zertifizierung gegenüber einer branchenfremden Hochschulbildung bei Ausübung der gleichen Job-Position gewertet werden soll. Normalerweise würde die Promotion in SoWi die höchste Bildungsstufe bieten, doch muss klar werden, wie ein ausgebildeter und nicht studierter Programmierer mit spezieller Zusatzausbildung und Zertifizierung durch Hersteller wie Microsoft, Sun usw. bei gleicher Tätigkeit und perfektem Englisch bewertet werden soll. Entweder entfällt die Hierarchisierung oder man muss zunächst noch Punkte vergeben und Gewichtungen, um den Indikator der Bildung durch weitere einzelne Items festzulegen und aus ihnen abzuleiten.
Das Ziel ist nicht nur, überhaupt zu den möglichen Ausprägungswerten einer Eigenschaft von Objekten geeignete numerische Werte zur Codierung oder zur tatsächlichen Wertabbildung zu finden, sondern eine strukturtreue Abbildung zu erhalten. Dies ist dann gelungen, wenn die Relationen zwischen den Objekten im empirischen und numerischen Relativ erhalten bleiben. Damit ist jedoch noch keine Einheit für die Skala festgelegt, solange es sich nicht um eine Absolutskala handelt, welche nur Anzahlen erfasst und dadurch automatisch schon eine Einheit besitzt, nämlich diejenige der Dinge, deren Anzahl sie abbildet.
Da es denkbar ist, dass für das gleiche Repräsentationstheorem verschiedene Skalen möglich sind, sind die mathematischen Operationen, die im numerischen Relativ durchführbar sind, mit Hilfe eines Eindeutigkeitstheorems festzulegen. Die Zulässigkeit bemisst sich dabei wiederum danach, ob die Strukturtreue erhalten bleibt. Bei numerischen Relativen, die ohnehin schon numerische Werte abbilden, sind im Regelfall sehr viel mehr Transformationen zulässig als bei solchen, die nominale Phänomene abbilden. Der Bildungsstand kann weder verdoppelt noch quadriert werden, doch kann er sortiert werden, wenngleich auch die Abstände wiederum nicht ermittelbar sind. Die Arbeitsleistung in Punkten kann allerdings sehr wohl nicht nur in eine Rangfolge gebracht werden, sondern man kann auch Steigerungen gegenüber der letzten Untersuchung messen und Differenzen bilden. Dies wäre auch bei der Bildung möglich, wenn verschiedene Bildungseigenschaften mit Punkten bewertet und die Punktanzahl die Höhe des Bildungsgrades angeben soll.
Die Klassifikation von Skalen ist nicht vollständig standardisiert. Da das Unterscheidungsmerkmal in den zulässigen Transformationen gesehen wird, können durchaus mehr Skalen gebildet werden als in diesem Abschnitt beschrieben. Doch ist es so, dass die hier gewählte Auswahl sowohl für die Befragung als auch für die spätere Auswertung ausreichend ist.
Die verschiedenen Skalentypen lassen sich auch selbst wieder in eine Rangordnung bringen, da nicht etwa völlig unterschiedliche Transformationen möglich sind, sondern immer mehr Transformationen die Liste ergänzen. Die anschließende Darstellung und die Auflistung in der Abbildung stellen dabei gerade Skalen von der untersten bis zur obersten Stufe dar.
Um noch einmal zu verstehen, warum es Messniveau im Sinne von Höhe oder im Sinne der Anzahl der zulässigen Transformationen heißt, folgt noch einmal eine Abbildung, in der ab der Nominalskala die verschiedenen Transformationen und die für sie gültigen Skalen enthalten sind.
